Yeni sayfanın içeriği
KÜMELERDE BİRLEŞİM İŞLEMİ ve ÖZELLİKLERİ
- KÜMELERDE BİRLEŞİM İŞLEMİ
A = {0, 2, 4, 6} ve B= {0, 1, 2, 3} kümeleri veriliyor.
A ve B kümelerinin bütün elemanlarından oluşan küme;
{0, 2, 4, 6, 1, 3} kümesidir.
A È B = {0, 2, 4, 6} È {0, 1, 2, 3}
= {0, 2, 4, 6, 1, 3}
A È B
A ve B gibi iki kümenin bütün elemanlarından oluşan yeni kümeye, A kümesi ile B kümesinin birleşim kümesi denir. Bu küme, A È B biçiminde gösterilir.
|
☺
C
C = {2, 3, 4} ve D = {5, 6} kümeleri veriliyor. C È D kümesini liste yöntemiyle yazarak şemayla gösterelim:
C È D = {2, 3, 4} È {5, 6}
= {2, 3, 4, 5, 6}
C
Yandaki şemada verilen A È B kümesini liste
yöntemiyle yazalım:
A È B = {Ankara, Kayseri, Samsun, Mersin, Adana, Niğde}
A È B
C
A = {a, b, c}, B= {e, f} ve C = {a, c, d, f} kümelerinin ikişer ikişer birleşimlerini sembol kullanarak liste yöntemiyle yazalım:
A È B = {a, b, c} È {e, f} = {a, b, c, e, f}
A È C = {a, b, c} È {a, c, d, f} = {a, b, c, d, f}
B È C = {e, f} È {a, c, d, f} = {e, f, a, c, d, f}
C
Yandaki şemada verilen D, E ve F kümelerinin
ikişer ikişer birleşimlerini liste yöntemiyle yazalım:
D È E = {2, 1, 3, 4, 0, 6, 7}
E È F = {0, 3, 4, 6, 7, 5, 1}
D È F = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
- BİRLEŞİM İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ
a) A = {a, b} ve B = {b, c, d, e} kümeleri veriliyor.
A È B = {a, b} È {b, c, d, e} B È A = {b, c, d, e} È {a, b}
= {a, b, c, d, e} dir. = {b, c, d, e, a} dir.
Buradan, A È B = B È A yazılır.
İki kümenin birleşim işleminde; bu iki kümenin yerleri değiştirilebilir, birleşim kümesi yine aynı küme olur.
Kümelerde birleşim işleminin değişme özelliği vardır.
|
☺
b) A = {a, b}, B = {b, c, d} ve C = {c, d, e} kümeleri veriliyor.
(A È B) È C = {a, b, c, d} È {c, d, e} = {a, b, c, d, e}
A È (B È C) = {a, b} È {b, c, d, e} = {a, b, c, d, e}
Buradan, (A È B) È C = A È (B È C)
Kümelerde birleşim işleminin birleşme özelliği vardır.
|
☺
c) A = {ê} ve B= { } kümeleri veriliyor.
A È B = {ê} È { } = {ê} olur.
A È Æ = A dır.
Bir kümenin boş kümeyle birleşimi, yine kendisidir.
|
☺
d) A = {1, 3, 5} kümesi veriliyor.
A È A = {1, 3, 5} È {1, 3, 5} = {1, 3, 5} dir. A È A = A dır.
Bir kümenin kendisiyle birleşimi, yine kendisidir.
|
☺
KÜMELERDE KESİŞİM İŞLEMİ ve ÖZELLİKLERİ
1. KÜMELERDE KESİŞİM İŞLEMİ
A = {Can, Ece, Ahmet} kümesi, sınıfımızın çevre koruma koluna seçilen öğrencilerin;
B = {Can, Ece, Veli} kümesi de sınıfımızın halk oyunları ekibine seçilen öğrencilerin kümesi olsun.
A ve B gibi iki kümenin sadece ortak elemanlarından oluşan kümeye, A kümesi ile B kümesinin kesişim kümesi denir. Bu küme, A Ç B biçiminde gösterilir.
|
Can ve Ece hem çevre koruma kolunun hem de halk oyunları ekibinin ortak elemanlarıdır.
C
A ve B kümelerinin kesişim kümesini liste yöntemiyle yazalım:
A Ç B = {Can, Ece, Ahmet} Ç {Can, Ece,Veli}
= {Can, Ece}
A Ç B kümesi yanda şemayla gösterilmiştir.
A Ç B
C
M ={0, 2, 4, 6} ve N = {1, 3, 5} kümeleri veriliyor.
Yandaki şemada görüldüğü gibi, M kümesi ile N
kümesinin ortak elemanları yoktur.
Bu nedenle M Ç N = Æ dir.
M Ç N = Æ
Ortak elemanları olmayan kümelere ayrık kümeler denir. Ayrık kümelerin kesişimi boş kümedir.
|
☺
C
A = {3, 6, 9, 12, 15, 18}, B= {4, 8, 12, 16, 18, 20} ve
C = {6, 12, 18, 24, 30} kümeleri veriliyor. Bu kümelerin ikişer ikişer kesişim kümelerini liste yöntemiyle yazalım:
A Ç B = {3, 6, 9, 12, 15, 18} Ç {4, 8, 12, 16, 18, 20} = {12, 18}
A Ç C = {3, 6, 9, 12, 15, 18} Ç {6, 12, 18, 24, 30} = {6, 12, 18}
B Ç C = {4, 8, 12, 16, 18, 20} Ç {6, 12, 18, 24, 30} = {12, 18}
2. KESİŞİM İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ
a) A = {a, b, c, d} ve B = {c, d, e, f} kümeleri veriliyor. A Ç B ve
B Ç A kümelerini liste yöntemiyle yazalım:
A Ç B = {a, b, c, d} Ç {c, d, e, f} = {c, d}
B Ç A = {c, d, e, f} Ç {a, b, c, d} = {c, d}
Buradan, A Ç B = B Ç A yazılır.
Kümelerde kesişim işleminin değişme özelliği vardır.
|
☺
b) A = {a, c, d, e} , B = {a, c, f, g} ve C = {c, d, f, h} kümeleri veriliyor
(A Ç B) Ç C kümesini liste yöntemiyle yazalım:
(A Ç B) Ç C = {a, c} Ç {c, d, f, h} = {c}
A Ç (B Ç C) kümesini liste yöntemiyle yazalım:
A Ç (B Ç C) = {a, c, d, e} Ç {c, f} = {c}
Buradan (A Ç B) Ç C = A Ç (B Ç C)
Kümelerde kesişim işleminin birleşme özelliği vardır.
|
☺
c) A = {2, 4, 6, 8} ve B = {10 dan büyük bir basamaklı sayılar} kümeleri veriliyor. A Ç B kümesini liste yöntemiyle yazalım:
B = { }
A Ç B = {2, 4, 6, 8} Ç Æ = Æ
A Ç Æ = Æ
Bir kümeyle boş kümenin kesişimi boş kümedir.
|
☺
d) A = {a, e, f} kümesi veriliyor. A Ç A kümesini liste yöntemiyle yazalım :
A Ç A = {a, e, f} Ç {a, e, f} = {a, e, f} dir.
A Ç A = A dır.
Bir kümenin kendisiyle kesişimi yine kendisidir.
|
☺
e) A = {1, 3, 5} ve B = {3, 5} kümeleri veriliyor. A Ç B ve A È B kümelerini liste yöntemiyle yazarak şemayla gösterelim:
A Ç B = {1, 3, 5} Ç {3, 5} = {3, 5}
A È B = {1, 3, 5} È {3, 5} = {1, 3, 5}
B Ì A ise A Ç B = B olur.
B Ì A ise A È B = A olur.
Biri diğerini kapsayan iki kümenin; kesişimi alt kümeye, birleşimi de kapsayan kümeye eşittir.
|
☺
C
A = {a, b, c} ve B = {d, e} kümeleri veriliyor. A Ç B ve A È B kümelerini liste yöntemiyle yazarak, A È B kümesinin eleman sayısını bulalım:
A Ç B = Æ
A È B = {a, b, c, d, e}
s(A È B) = 5
s(A) = 3 ve s(B) = 2
Buradan, s(A È B) = s(A) + s(B) yazılır.
5 = 3 + 2
5 = 5 yazılır.
Ayrık iki kümenin birleşim kümesinin eleman sayısı, bu iki kümenin eleman sayıları toplamına eşittir.
|
☺
C
A = {a, b, c} ve B={c, d, e, f} kümeleri veriliyor. A Ç B ve A È B kümelerini liste yöntemiyle yazarak, A È B kümesinin eleman sayısını bulalım:
A Ç B = {c}
S(A Ç B) =1
A È B ={a, b, c, d, e, f}
s(A È B) = 6
s(A) = 3 ve s(B) = 4
Buradan, s(A È B) = s(A) + s(B) – s (A Ç B) yazılır.
6 = 3 + 4 –1
6 = 7 – 1
6 = 6 olur.
Ayrık olmayan iki kümenin birleşim kümesinin eleman sayısı, bu iki kümenin eleman sayıları toplamı ile kesişim kümesinin eleman sayısı farkına eşittir.
|
☺
A Ç B =Æ ise s(A È B) = s(A) + s(B) dır.
A Ç B ¹ Æ ise s(A È B) = s(A) + s(B) - s (A Ç B) dır.
|
☺
